【时序列】时序列数据如何一步步分解成趋势（trend）季节性（seasonality）和误差（residual）- 理解python sm.tsa.seasonal_decompose
在做时序列分析的时候，好多教程都告诉你要把时序列分解成趋势，季节性，残差，然后画图看一下有没有趋势变化，有没有季节性。像这样：
import statsmodels.api as sm
decomposition = sm.tsa.seasonal_decompose(train['Count'] ,model='addictive', period=7)
decomposition.plot()
相信大家都很熟悉python的这个包和命令，但是具体是如何分解的却不是特别清楚。今天就来详细理解一下一个时序列是如何一步一步被分解的。
举个例子理解概念
首先我们默认每个时序列在某个时间点i的数值，都可以分解成三部分，分别是趋势，季节性和残差，以此来解释时序列的变化。
比如，某列车2021年2月的总乘客人数1000人，这1000人如何理解，为什么是1000人？
2018年2月还是100人，2021年1月还是300人，为啥到2021年2月就1000人了？
首先，可能因为列车开通后乘车人数有逐年上升的趋势，每年增加100人，2018年到2021年的3年之间增加了300人，只考虑趋势原因的话2021年2月应该是：100+300=400人
然后，和2021年1月分相比，2021年2月是春节，每年的2月乘客都1月多200人，只考虑春节这个季节性原因的话2021年2月应该是：300+200=500人
把季节性和趋势原因都考虑进去应该是：400+500=900人，但2021年2月是1000人，剩下的100人如何解释呢？暂时解释不了， 我们就把它作为残差（误差）
理解了例子公式就简单了
就是下面这个公式：
y_i = t_i + s_i + n_i
y_i ：在i时间点的数值（乘客人数，销量等等）
t_i ：在i时间点的趋势
s_i ：在i时间点的季节性
n_i：在i时间点的残差
当然在上面这个例子里，我们假设这个y（乘客人数），是线性增长的，所以我们用加法把每个要素加起来，来解释y的变化。
如果y不是线性增长，而是比如指数增长的，那就不能用加法，需要用乘法，即：
y_i = t_i * s_i * n_i
decomposition = sm.tsa.seasonal_decompose(train[‘Count’], model=‘addictive’, period=7)
那么，上面这句代码里的model就应该从‘addictive’， 改成‘multiplicative’
一步步分解趋势，季节性，残差
所以趋势，季节性，残差都是咋分出来的呢。计算方法貌似有很多，我们理解一个最基本的。
五步走：
1: 确定季节性变化的期间
2: 分离 趋势
3: 分离 季节性+残差
4: 分离 季节性
5: 分离 残差
1: 确定季节变化的期间
这个期间就是decompose命令里面的period。看一下你的数据图。我手头的数据是日次的，看起来以周为单位有一个先升高再下降的循环。所以我把period定为7（7天的意思）
2: 分离 趋势
7这个期间定好之后，我们用移动平均的方法分离趋势。为了方便解释，我都用excel做示例。
计算的时候，以7的中心为开始计算移动平均。所以时序列最开始的3个三个数和最后的3个数是没有值的。
个人理解，如果季节性以周次出现，那么以7为单位计算的时候，比如每周六日数值都很高，这个因素就每个cycle（周）里面都有，平均下来的数值，就可以看作是摒弃了季节性的趋势的影响。
可以看到计算结果和python的decompose是一样的
3: 分离 季节性+残差
分离好趋势之后，如果你选的是model=‘addictive’，根据公式y_i = t_i + s_i + n_i， 我们只要用数值减去趋势那部分，就能得到季节性+残差的部分了。如果是multiplicative，那就是除以趋势。
结果如下，季节性+残差
4，5： 分离 季节性 残差
接下来就从季节性+残差里面把季节性分出来。比如，如果时序列是周次季节性，那么周一的数值，就减去所有周一的数值的平均，周二的数值就减去所有周二的平均，以此类推，剩下的就是残差了。当然这只举了一个分离季节性的超简单逻辑。python里面decompose貌似用了更复杂的计算方法来计算季节性，由于篇幅过大暂且省略。
验证以下python的结果
看一下用python的seasonal_decompose算完，季节性，趋势，残差，加起来是不是真的等于原来的数值。
代码如下
decomposition = sm.tsa.seasonal_decompose(train['Count'],model='addictive', period=7) #Additive
trend = decomposition.trend
seasonal = decomposition.seasonal
residual = decomposition.resid
train['trend']=trend
train['seasonal']= seasonal
train['residual']= residual
train['add'] = train['trend']+train['seasonal'+*train['residual']
结果如下，Count果然和三个加起来的数值是一样的。
前三行的trend是没有值的。这是因为以7为中心算移动平均的时候，中心点位置是第四行，前3行没有值也就可以理解了。
就写到这里。欢迎大家指导讨论！
【参考文献】
https://timeseriesreasoning.com/contents/time-series-decomposition/
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